A. STANDAR
KOMPETENSI
1.
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan konsep operasi bilangan real.
B. KOMPETENSI
DASAR
1.1.
Menerapkan operasi pada bilangan real
C. INDIKATOR
1.
Dua
atau lebih bilangan bulat dioperasikan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi)
sesuai dengan prosedur.
2.
Dua
atau lebih bilangan pecahan, dioperasikan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi)
sesuai dengan prosedur.
3.
Bilangan
pecahan dikonversi ke bentuk persen, atau pecahan desimal, sesuai prosedur.
4.
Konsep
perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen digunakan dalam
penyelesaian masalah program keahlian.
D. TUJUAN
PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari
materi operasi bilangan real, diharapkan siswa mampu :
1.
Membedakan macam-macam bilangan real.
2.
Menghitung operasi dua atau lebih
bilangan bulat sesuai dengan prosedur.
3.
Menghitung operasi dua atau lebih
bilangan pecahan sesuai dengan prosedur.
4.
Melakukan konversi pecahan ke bentuk
persen, pecahan decimal, atau persen dan sebaliknya.
5.
Menjelaskan perbandingan (senilai dan
berbalik nilai), skala, dan persen.
6.
Menghitung perbandingan (senilai dan
berbalik nilai), skala, dan persen.
7.
Menyelesaikan masalah program keahlian
yang berkaitan dengan operasi bilangan real.
E. MATERI
PEMBELAJARAN
1. Operasi Bilangan Real
a. Sistem
Bilangan Real
Pengertian bilangan,
bilangan adalah sesuatu yang bersifat abstrak yang
akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang
bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka.Pengertian
sistem bilangan, sistem bilangan adalah suatu cara
untuk mewakili besaran dari suatu item.
Macam-macam bilangan real antara lain :
1) Bilangan
Asli adalah bilangan suatu bilangan yang dimulai dari bilangan positif sampai
tak terhingga.
Bilangan Asli disimbolkan dengan 
.
Contoh bilangan asli = {1, 2, 3, …..}
2) Bilangan
Bulat adalah suatu bilangan yang dimulai dari bilangan n negatif sampai n
positif.
Bilangan Bulat disimbolkan dengan 
.
Contoh bilangan bulat = {….., -2, -1, 0, 1, 2,……}
3) Bilangan
Cacah adalah bilangan gabungan antara bilangan nol dan bilangan asli.
Bilangan Cacah disimbolkan dengan 
.
Contoh bilangan cacah = {0, 1, 2, 3, ……}
4) Bilangan
Rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 
, dimana a, b 
, dan b ≠ 0.
Bilangan Rasional disimbolkan dengan 
, biasanya dinotasikan 
Contoh bilangan rasional = {
}
5) Bilangan
Irrasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dimana a, b , dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irrasional = { 
…..}
6) Bilangan
Real adalah gabungan dari bilangan asli, bilangan bulat, blangan cacah,
bilangan rasional, dan bilangan irrasional.
b. Operasi
Bilangan Real
1) Operasi
Hitung pada Bilangan Bulat
a) Penjumlahan
Jika a, b maka penjumlahan a dan b dinotasikan “a +
b”.Masing-masing a dan b disebut suku.
Sifat-sifat operasi penjumlahan :
1. Tertutup
dan tunggal
Jika a, b maka terdapat satu dan hanya satu bilangan
bulat yang memenuhi yaitu c, sehingga a + b = c
2. Komutatif
(pertukaran)
Jika a, b , maka a + b = b + a
3. Assosiatif
(pengelompokan)
Jika a, b, c , maka a + ( b + c ) =
( a + b ) + c
4. Distributif
(penyebaran) terhadap penjumlahan
Jika a, b, c , maka a × ( b + c ) =
ab + ac
5. Mempunyai
elemen identitas
Ada 0 yang merupakan elemen identitas
penjumlahan, artinya a + 0 = 0 + a = a
6. Invers
terhadap penjumlahan
Untuk setiap a ada (-a) yang apabila di jumlahkan menghasilkan
elemen identitas, yaitu nol (0). Artinya, a + (-a) = (-a) + a = 0
Jika dinotasikan :
b) Pengurangan
Jika a, b maka pengurangan a dan b dinotasikan “a - b”.
aturan operasi pengurangan :
1. Tertutup
dan tunggal
Jika a, b maka terdapat satu dan hanya satu bilangan
bulat yang memenuhi yaitu c, sehingga a - b = c
2. Untuk
sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:
a - b = a + (-b)
Artinya,
mengurangkan b dari a sama artinya dengan menambahkan lawan b pada a.
3. Pada
operasi pengurangan tidak berlaku sifat Komutatif (pertukaran)
Jika a, b , maka a - b ≠ b - a
4. Pada
operasi pengurangan tidak berlaku sifat Assosiatif
(pengelompokan)
Jika a, b, c , maka a - ( b - c ) ≠
( a - b ) - c
5. Distributif
(penyebaran) terhadap pengurangan
Jika a, b, c , maka a × ( b - c ) =
ab – ac
6. Sifat pengurangan bilangan nol (0)
a - 0 = a
0 - a = -a
0 - 0 = 0
c) Perkalian
Jika a, b maka perkalian a dan b dinotasikan “a ×
b”.Masing-masing a dan b disebut faktor.
Sifat-sifat perkalian sebagai berikut :
1. Tertutup
dan tunggal
Jika a, b maka terdapat satu dan hanya satu bilangan
bulat yang memenuhi yaitu c, sehingga a × b = c
2. Komutatif
(pertukaran)
Jika a, b maka a × b = b × a
3. Assosiatif
(pengelompokan)
Jika a, b, c maka a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
4. Distributif
(penyebaran) perkalian terhadap penjumlahan
Jika a, b, c maka a × ( b + c ) = ab + ac
5. Adanya
elemen identitas
Ada bilangan 1 yang merupakan elemen
identitas perkalian, artinya a × 1 = 1 × a = a
d) Pembagian
Jika a, b maka pembagian a dan b dinotasikan “a : b”
dengan b ≠ 0.
Aturan-aturan pembagian yaitu :
1. a
× ( b : c ) = ( a × b ) : c
Contoh : 2 × ( 4 : 2 ) = ( 2 × 4 ) : 2 =
4
2. (
a × b ) : ( c × d ) = ( a : c ) × ( b : d)
Contoh : ( 4 × 8 ) : ( 2 × 4 ) = ( 4 : 2
) × ( 8 : 4 ) = 2 × 2 = 4
3. a
: ( b : c ) = a × ( b : c )
Contoh : 8 : ( 10 : 5 ) = 8 × ( 10 : 5 )
= 8 × 2 = 16
2) Operasi
Hitung pada Bilangan Pecahan
Pecahan adalah bagian
dari bilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentuk , dengan a, b , dan b ≠ 0. Dimana a
disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Macam-macam bentuk pecahan, antara lain :
a. Pecahan
biasa
b. Pecahan
desimal
c. Pecahan
persen
d. Pecahan
campuran
Operasi Hitung Bilangan
Pecahan
1) Penjumlahan
Definisi
:
Sifat-sifat penjumlahan antara lain :
Untuk semua bilangan pecahan a, b, c
berlaku :
1) Komutatif
(pertukaran)
a + b = b + a
2) Assosiatif
(pengelompokan)
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Elemen
Identitas
Pecahan 
adalah elemen identitas a + 0 = 0 + a = a
4) Invers
Terdapat pecahan (-a) sehingga berlaku a
+ (-a) = 0
Penjumlahan pada pecahan campuran dapat
diselesaikan dengan dua cara, yaitu :
Cara 1 : Dengan pecahan murni
Cara 2 : Dengan menggabungkan sifat
komutatif dan assosiatif
2) Pengurangan
Secara umum sifat-sifat
pengurangan bilangan pecahan sama dengan sifat-sifat bilangan bulat, hanya saja
penjumlahan dan pengurangan dua atau lebih bilangan pecahan dapat dilakukan
jika penyebutnya sama.
3) Perkalian
Definisi
:
Sifat-sifat perkalian pada bilangan
pecahan sebagai berikut :
Untuk
setiap a, b, c bilangan pecahan berlaku sifat ;
a. Komutatif
a × b = b × a
b. Assosiatif
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
c. Distributif
perkalian terhadap penjumlahan
a × ( b + c ) = ab + ac
d. Distributif
perkalian terhadap pengurangan
a × ( b - c ) = ab - ac
e. Mempunyai
elemen identitas
Bilangan rasional 1 berbentuk 
merupakan elemen identitas perkalian, karena
berlaku : a × 1 = 1 × a = a
f. Invers
perkalian
Jika a bilangan pecahan maka terdapat 
sehingga berlaku :
4) Pembagian
Pembagian
dalam pecahan dilakukan dengan cara pembilang dibagi dengan pembilang dan
penyebut dibagi dengan penyebut, atau pecahan pertama dikalikan dengan
kebalikan pecahan kedua.
Umumnya b × (a : b) = a. jadi apabila a :
b = c maka b × c = a
c. Konversi
Bilangan
1. Konversi
pecahan ke desimal
Konversi (perubahan)
pecahan ke bentuk desimal dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dengan
penyebutnya.
2. Konversi
pecahan desimal ke persen
Untuk mendapatkan pecahan dalam bentuk
persen dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan decimal dengan 100%.
3. Konversi
desimal ke pecahan
Konversi desimal ke bentuk pecahan
dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu :
(i)
Bilangan desimal terbatas
Contoh : 1. 0, 4 = 
2. 0, 24 = 
(ii) Bilangan
desimal berulang tak terbatas
Misalkan y = 0, 3333 …..
Diperoleh 10 × y = 3, 333 …..
y = 0, 333 …..
--
9y
= 3
y = 
= 
4. Konversi
persen ke pecahan dan desimal
Konversi persen menjadi
decimal dilakukan dengan langkah mengubah lambang % menjadi 
, kemudian
menyederhanakannya. Setelah mendapatkan bentuk pecahan selanjutnya diubah ke
bentuk desimal.
d. Perbandingan
Skala dan Persen
1. Perbandingan
Perbandingan dua nilai
merupakan bentuk pembagian, dengan a : b dibaca a dibandingkan dengan b atau . Macam-macam
perbandingan yaitu :
a) Perbandingan
senilai atau berbanding lurus
Untuk perbandingan
senilai, jika nilai a bertambah besar maka b juga bertambah besar.
b) Perbandingan
berbalik nilai atau berbanding terbalik.
Apabila terdapat korespondensi satu-satu
antara dua objek atau variabel dengan sifat saling berkebalikan antara objek
yang bersesuaian maka perbandingan keduanya disebut perbandingan berbalik
nilai.
Untuk perbandingan berbalik nilai, jika
niali a bertambah besar maka b justru
bertambah kecil.
2. Penggunaan
perbandingan pada permasalahan matematika.
a) Skala
Skala adalah perbandingan antara ukuran
gambar dengan ukuran benda yang sebenarnya.
Secara umum :
Skala = jarak pada peta : jarak
sesungguhnya
b) Persen
Persen adalah lambang bilangan rasional yang berpenyebut
seratus.Lambang dari persen adalah %. Makna persen adalah per seratus,artinya 1
% = .
didefinisikan sebagai berikut :
dengan a ≠ 0, b ≠ 0 maka berlaku :
