Operasi Bilangan Real

A.    STANDAR KOMPETENSI

            1.         Memecahkan masalah yang berkaitan dengan konsep operasi bilangan real.

B.     KOMPETENSI DASAR

1.1.      Menerapkan operasi pada bilangan real

C.     INDIKATOR

1.         Dua atau lebih bilangan bulat dioperasikan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan prosedur.

2.         Dua atau lebih bilangan pecahan, dioperasikan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan prosedur.

3.         Bilangan pecahan dikonversi ke bentuk persen, atau pecahan desimal, sesuai prosedur.

4.         Konsep perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen digunakan dalam penyelesaian masalah program keahlian.

D.    TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari materi operasi bilangan real, diharapkan siswa mampu :

1.         Membedakan macam-macam bilangan real.

2.         Menghitung operasi dua atau lebih bilangan bulat sesuai dengan prosedur.

3.         Menghitung operasi dua atau lebih bilangan pecahan sesuai dengan prosedur.

4.         Melakukan konversi pecahan ke bentuk persen, pecahan decimal, atau persen dan sebaliknya.

5.         Menjelaskan perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen.

6.         Menghitung perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen.

7.         Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan operasi bilangan real.

E.     MATERI PEMBELAJARAN

1.      Operasi Bilangan Real

a.       Sistem Bilangan Real

Pengertian bilangan, bilangan adalah sesuatu yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka.Pengertian sistem bilangan, sistem bilangan adalah suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item.

Macam-macam bilangan real antara lain :

1)   Bilangan Asli adalah bilangan suatu bilangan yang dimulai dari bilangan positif sampai tak terhingga.

Bilangan Asli disimbolkan dengan .

Contoh bilangan asli  = {1, 2, 3, …..}

2)   Bilangan Bulat adalah suatu bilangan yang dimulai dari bilangan n negatif sampai n positif.

Bilangan Bulat disimbolkan dengan .

Contoh bilangan bulat  = {….., -2, -1, 0, 1, 2,……}

3)   Bilangan Cacah adalah bilangan gabungan antara bilangan nol dan bilangan asli.

Bilangan Cacah disimbolkan dengan .

Contoh bilangan cacah = {0, 1, 2, 3, ……}

4)   Bilangan Rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dimana a, b , dan b ≠ 0.

Bilangan Rasional disimbolkan dengan , biasanya dinotasikan

Contoh bilangan rasional  = {}

5)   Bilangan Irrasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dimana a, b , dan b ≠ 0.

Contoh bilangan irrasional = {  …..}

6)   Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan asli, bilangan bulat, blangan cacah, bilangan rasional, dan bilangan irrasional.

b.      Operasi Bilangan Real

1)      Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

a)      Penjumlahan

Jika a, b  maka penjumlahan a dan b dinotasikan “a + b”.Masing-masing a dan b disebut suku.

Sifat-sifat operasi penjumlahan :

1.      Tertutup dan tunggal

Jika a, b  maka terdapat satu dan hanya satu bilangan bulat yang memenuhi yaitu c, sehingga a + b = c

2.      Komutatif (pertukaran)

Jika a, b , maka a + b = b + a

3.      Assosiatif (pengelompokan)

Jika a, b, c , maka a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

4.      Distributif (penyebaran) terhadap penjumlahan

Jika a, b, c , maka a × ( b + c ) = ab + ac

5.      Mempunyai elemen identitas

Ada 0 yang merupakan elemen identitas penjumlahan, artinya a + 0 = 0 + a = a

6.      Invers terhadap penjumlahan

Untuk setiap a ada (-a) yang apabila di jumlahkan menghasilkan elemen identitas, yaitu nol (0). Artinya, a + (-a) = (-a) + a = 0

Jika dinotasikan :

b)      Pengurangan

Jika a, b  maka pengurangan a dan b dinotasikan “a - b”.

aturan operasi pengurangan :

1.      Tertutup dan tunggal

Jika a, b  maka terdapat satu dan hanya satu bilangan bulat yang memenuhi yaitu c, sehingga a - b = c

2.      Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:

a - b = a + (-b)

Artinya, mengurangkan b dari a sama artinya dengan menambahkan lawan b pada a.

3.      Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat Komutatif (pertukaran)

Jika a, b , maka a - b ≠ b - a

4.      Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat Assosiatif (pengelompokan)

Jika a, b, c , maka a - ( b - c ) ≠ ( a - b ) - c

5.      Distributif (penyebaran) terhadap pengurangan

Jika a, b, c , maka a × ( b - c ) = ab – ac

6.      Sifat pengurangan bilangan nol (0)

a - 0 = a

0 - a = -a

0 - 0 = 0

c)      Perkalian

Jika a, b  maka perkalian a dan b dinotasikan “a × b”.Masing-masing a dan b disebut faktor.

Sifat-sifat perkalian sebagai berikut :

1.      Tertutup dan tunggal

Jika a, b  maka terdapat satu dan hanya satu bilangan bulat yang memenuhi yaitu c, sehingga a × b = c

2.      Komutatif (pertukaran)

Jika a, b  maka a × b = b × a

3.      Assosiatif (pengelompokan)

Jika a, b, c  maka a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

4.      Distributif (penyebaran) perkalian terhadap penjumlahan

Jika a, b, c  maka a × ( b + c ) = ab + ac

5.      Adanya elemen identitas

Ada bilangan 1 yang merupakan elemen identitas perkalian, artinya a × 1 = 1 × a = a

d)     Pembagian

Jika a, b  maka pembagian a dan b dinotasikan “a : b” dengan b ≠ 0.

Aturan-aturan pembagian yaitu :

1.      a × ( b : c ) = ( a × b ) : c

Contoh : 2 × ( 4 : 2 ) = ( 2 × 4 ) : 2 = 4

2.      ( a × b ) : ( c × d ) = ( a : c ) × ( b : d)

Contoh : ( 4 × 8 ) : ( 2 × 4 ) = ( 4 : 2 ) × ( 8 : 4 ) = 2 × 2 = 4

3.      a : ( b : c ) = a × ( b : c )

Contoh : 8 : ( 10 : 5 ) = 8 × ( 10 : 5 ) = 8 × 2 = 16

2)      Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan

Pecahan adalah bagian dari bilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentuk , dengan a, b , dan b ≠ 0. Dimana a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Macam-macam bentuk pecahan, antara lain :

a.       Pecahan biasa

b.      Pecahan desimal

c.       Pecahan persen

d.      Pecahan campuran

Operasi Hitung Bilangan Pecahan

1)      Penjumlahan

Definisi :

Sifat-sifat penjumlahan antara lain :

Untuk semua bilangan pecahan a, b, c berlaku :

1)      Komutatif (pertukaran)

a + b = b + a

2)      Assosiatif (pengelompokan)

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

3)      Elemen Identitas

Pecahan  adalah elemen identitas a + 0 = 0 + a = a

4)      Invers

Terdapat pecahan (-a) sehingga berlaku a + (-a) = 0

Penjumlahan pada pecahan campuran dapat diselesaikan dengan dua cara, yaitu :

Cara 1 : Dengan pecahan murni

                 

Cara 2 : Dengan menggabungkan sifat komutatif dan assosiatif

                 

2)      Pengurangan

Secara umum sifat-sifat pengurangan bilangan pecahan sama dengan sifat-sifat bilangan bulat, hanya saja penjumlahan dan pengurangan dua atau lebih bilangan pecahan dapat dilakukan jika penyebutnya sama.

3)      Perkalian

Definisi :

Sifat-sifat perkalian pada bilangan pecahan sebagai berikut :

      Untuk setiap a, b, c bilangan pecahan berlaku sifat ;

a.       Komutatif

a × b = b × a

b.      Assosiatif

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

c.       Distributif perkalian terhadap penjumlahan

a × ( b + c ) = ab + ac

d.      Distributif perkalian terhadap pengurangan

a × ( b - c ) = ab - ac

e.       Mempunyai elemen identitas

Bilangan rasional 1 berbentuk  merupakan elemen identitas perkalian, karena berlaku : a × 1 = 1 × a = a

f.       Invers perkalian

Jika a bilangan pecahan maka terdapat  sehingga berlaku :

4)      Pembagian

Pembagian dalam pecahan dilakukan dengan cara pembilang dibagi dengan pembilang dan penyebut dibagi dengan penyebut, atau pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan pecahan kedua.

Umumnya b × (a : b) = a. jadi apabila a : b = c maka b × c = a

c.       Konversi Bilangan

1.      Konversi pecahan ke desimal

Konversi (perubahan) pecahan ke bentuk desimal dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dengan penyebutnya.

2.      Konversi pecahan desimal ke persen

Untuk mendapatkan pecahan dalam bentuk persen dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan decimal dengan 100%.

3.      Konversi desimal ke pecahan

Konversi desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu :

(i)        Bilangan desimal terbatas

Contoh : 1. 0, 4 =                             2. 0, 24 =

(ii)      Bilangan desimal berulang tak terbatas

Misalkan y = 0, 3333 …..

Diperoleh        10 × y = 3, 333 …..

                                 y = 0, 333 …..

                                                               --

                                    9y = 3

                                      y =  =

4.      Konversi persen ke pecahan dan desimal

Konversi persen menjadi decimal dilakukan dengan langkah mengubah lambang % menjadi , kemudian menyederhanakannya. Setelah mendapatkan bentuk pecahan selanjutnya diubah ke bentuk desimal.

d.      Perbandingan Skala dan Persen

1.      Perbandingan

Perbandingan dua nilai merupakan bentuk pembagian, dengan a : b dibaca a dibandingkan dengan b atau . Macam-macam perbandingan yaitu :

a)      Perbandingan senilai atau berbanding lurus

Untuk perbandingan senilai, jika nilai a bertambah besar maka b juga bertambah besar.

b)      Perbandingan berbalik nilai atau berbanding terbalik.

Apabila terdapat korespondensi satu-satu antara dua objek atau variabel dengan sifat saling berkebalikan antara objek yang bersesuaian maka perbandingan keduanya disebut perbandingan berbalik nilai.

Untuk perbandingan berbalik nilai, jika niali a  bertambah besar maka b justru bertambah kecil.

2.      Penggunaan perbandingan pada permasalahan matematika.

a)      Skala

Skala adalah perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran benda yang sebenarnya.

Secara umum :

Skala = jarak pada peta : jarak sesungguhnya

b)      Persen

Persen adalah lambang bilangan rasional yang berpenyebut seratus.Lambang dari persen adalah %. Makna persen adalah per seratus,artinya 1 % = .