1.
Gambarkan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan x + y < 4 ; x ≥ 0, x, y 
2.
Seorang
petani memerlukan paling sedikit 30 unit zat A dan 24 unit zat B untuk pupuk
tanaman di lahannya. Kedua zat kimia itu dapat diperoleh dari pupuk cair dan
pupuk padat. Setiap botol pupuk cair seharga Rp 20. 000, 00 mengandung 5 unit
zat A dan 3 unit zat B, sedangkan setiap kantong pupuk padat seharga Rp 16.
000, 00, mengandung 3 unit zat A dan 4 unit zat B. buatlah model matematika
untuk meminimumkan biaya !
3.
Carilah
nilai maksimum dan minimum dari bentuk objektif f(x, y) = 2x + 3y dengan daerah
penyelesaian A(1, 1), B(6, 1), C(6, 5), dan D(1, 5).
4.
Sebuah
perusahaan konveksi hendak membuat dua model pakaian dengan persediaan 3000 m2
bahan sutera dan 2000 m2 bahan katun. Model I memerlukan 3m2
bahan sutera dan 1 m2 bahan katun, sedangkan model II memerlukan 1m2
bahan sutera dan 2 m2 bahan katun. Tentukanlah jumlah total maksimum
pakaian yang dapat dibuat.
PEMBAHASAN
1.
x + y < 4; x ≥ 0, x, y
x + y < 4
|
x
|
0
|
4
|
|
y
|
4
|
0
|
|
(x, y)
|
(0, 4)
|
(4, 0)
|
Grafik melalui titik :
(0, 4) dan (4, 0)
Titik uji (0, 0)
diperoleh bahwa daerah dibawah garis merupakan daerah penyelesaian.
2.
Misalkan : Banyak pupuk cair ; x botol
Banyak pupuk padat ; y kantong.
Tabel
:
|
Banyak
|
Jenis
pupuk
|
Zat
|
Keuntungan
|
|
|
A
|
B
|
|||
|
X
|
Cair
|
5
|
3
|
Rp
20. 000, 00
|
|
y
|
padat
|
3
|
4
|
Rp
16. 000, 00
|
|
|
|
30
|
24
|
|
Model
matematika :
·
Paling sedikit dibutuhkan 30 unit zat A
: 5x + 3y ≥ 30
·
Paling sedikit dibutuhkan 24 unit zat B
: 3x + 4y ≥ 24
·
Banyak pupuk selalu bernilai positif :
x, y≥ 0
Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan
berikut :
5x + 3y ≥ 30; 3x + 4y ≥ 24 ; x, y≥ 0 ;
x, y
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
di atas adalah :
·
Untuk x ≥ 0 dan y ≥ 0 masing-masing
mempunyai penyelesaian di kanan sumbu Y dan diatas sumbu X
·
5x + 3y ≥ 30, titik potong dengan
koordinat :
|
x
|
0
|
6
|
|
y
|
10
|
0
|
|
(x,
y)
|
(0,
10)
|
(6,
0)
|
·
3x + 4y ≥ 24 titik potong dengan
koordinat :
|
x
|
0
|
8
|
|
y
|
6
|
0
|
|
(x,
y)
|
(0,
6)
|
(8,
0)
|
Tujuan
pemodelan untuk meminimumkan biaya, sehingga fungsi objektifnya adalah f(x, y)
= 20.000x + 16. 000y
3.
Titik-titik
pojok daerah penyelesaian adalah A(1, 1), B(6, 1), C(6, 5), dan D(1, 5).
Uji titik.
|
Titik pojok
|
x
|
y
|
2x + 3y
|
|
A(1, 1)
|
1
|
1
|
2
. 1 + 3 . 1 = 2 + 3 = 5
|
|
B(6, 1)
|
6
|
1
|
2
. 6 + 3 . 1 = 12 + 3 = 15
|
|
C(6, 5)
|
6
|
5
|
2
. 6 + 3 . 5 = 12 + 15 = 27
|
|
D(1, 5)
|
1
|
5
|
1.1
+ 3. 5 = 2 + 15 = 17
|
Diperoleh
nilai maksimum = 27 dan nilai minimum = 5
4.
Misal : Banyak pakaian model I : x unit
Banyak pakaian model II : y unit
|
Model pakaian
|
Banyak
|
Bahan
|
|
|
|
|
Sutera
|
Katun
|
|
I
|
x
|
3
|
1
|
|
II
|
y
|
1
|
2
|
|
|
2.
000
|
2.
000
|
|
Fungsi
objektif f(x, y) = x, y dengan kendala sistem pertidaksamaan :
3x
+ y ≤ 3. 000 ; x + 2y ≤ 2. 000 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Nilai
maksimum funsi objektif adalah f(600, 800) = 1. 400. Dengan kata lain, jumlah
total maksimum pakaian yang dapat dibuat perusahaan adalah 1. 400 unit.
